Question

8．已知圓C：（x-2）²+y²=4，點P在直線l：y=x+3上，若圓C上存在兩點A、B使得$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，則點P的橫坐標的取值范圍是$[{\frac{{-1-\sqrt{7}}}{2}，\frac{{-1+\sqrt{7}}}{2}}]$．

Answer 1

分析 由題意可得圓心C（2，0），推導出點P到圓上的點的最小距離應小于或等于半徑r=2．設點P的坐標為（m，m+3），則$\sqrt{（m-2）^{2}+（m+3{-0）}^{2}}$-2≤2，由此能求出點P的橫坐標的取值范圍．

解答 解：由題意可得圓心C（2，0），
∵點P在直線l：y=x+3上，圓C上存在兩點A、B使得$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，
如圖，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r=2，
∴點P到圓上的點的最小距離|PD|應小于或等于半徑r=2．
設點P的坐標為（m，m+3），
則$\sqrt{（m-2）^{2}+（m+3{-0）}^{2}}$-2≤2，
化簡可得2m²+2m-3≤0，解得$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$≤m≤$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，
∴點P的橫坐標的取值范圍是：$[{\frac{{-1-\sqrt{7}}}{2}，\frac{{-1+\sqrt{7}}}{2}}]$
故答案為：$[{\frac{{-1-\sqrt{7}}}{2}，\frac{{-1+\sqrt{7}}}{2}}]$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應用，判斷點P到圓上的點的最小距離應小于或等于半徑，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．