Question

20．已知直線l：mx-y=1，若直線l與直線x-（m-1）y=2垂直，則m的值為$\frac{1}{2}$，動(dòng)直線l：mx-y=1被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由直線l：mx-y=1，直線l與直線x-（m-1）y=2垂直，利用兩直線垂直的性質(zhì)能求出m的值；求出圓C：x²-2x+y²-8=0的圓心C（1，0），半徑r=3，再求出圓心C（1，0）到直線l：mx-y=1的距離d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，弦長(zhǎng)為：2$\sqrt{{r}^{2}-6gyuamu^{2}}$，由此能求出動(dòng)直線l：mx-y=1被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長(zhǎng)．

解答 解：∵直線l：mx-y=1，直線l與直線x-（m-1）y=2垂直，
∴m×1+（-1）×[-（m-1）]=0，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∵圓C：x²-2x+y²-8=0的圓心C（1，0），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+32}$=3，
圓心C（1，0）到直線l：mx-y=1的距離d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴弦長(zhǎng)為：2$\sqrt{{r}^{2}-4aamw6i^{2}}$=2$\sqrt{9-\frac{{m}^{2}+1-2m}{{m}^{2}+1}}$=2$\sqrt{8+\frac{2m}{{m}^{2}+1}}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=-1時(shí)，動(dòng)直線l：mx-y=1被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$．
故答案為：$\frac{1}{2}，2\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查弦長(zhǎng)的最小值的求法，考查直線與直線垂直、圓、兩點(diǎn)間距離公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．