Question

8．拋物線C：y²=4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線C上一點，且P在第一象限，PM⊥l于點M，線段MF與拋物線C交于點N，若PF的斜率為$\frac{3}{4}$，則$\frac{|MN|}{|NF|}$=（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，設$\frac{|MN|}{|NF|}$=λ，則cos∠MNQ=$\frac{1}{λ}$，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．

解答 解：過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，
設$\frac{|MN|}{|NF|}$=λ，則$\frac{|MN|}{|NQ|}=λ$，∴cos∠MNQ=$\frac{1}{λ}$．∴cos∠MFO=$\frac{1}{λ}$．
∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，
∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=-cos2∠MFO=1-2cos²∠MFO=1-$\frac{2}{{λ}^{2}}$．
∵tan∠PFx=$\frac{3}{4}$，∴cos∠PFx=$\frac{4}{5}$，
∴1-$\frac{2}{{λ}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，解得λ²=10．即$λ=\sqrt{10}$．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的性質，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．