Question

已知點(diǎn)E(m,0)為拋物線y²＝4x內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，過E斜率分別為k₁、k₂的兩條直線交拋物線于點(diǎn)A、B、C、D，且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．

(1)若m＝1，k₁k₂＝－1，求三角形EMN面積的最小值；

(2)若k₁＋k₂＝1，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

 (1)當(dāng)m＝1時(shí)，E為拋物線y²＝4x的焦點(diǎn)，

設(shè)AB方程為y＝k₁(x－1)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由得k₁y²－4y－4k₁＝0，y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4.

AB中點(diǎn)，∴M(＋1，)；同理，點(diǎn)N(2k＋1，－2k₁)．

∵k₁k₂＝－1，∴AB⊥CD，

∴S_△EMN＝|EM|·|EN|＝

當(dāng)且僅當(dāng)k＝，即k₁＝±1時(shí)，△EMN的面積取最小值4.

(2)設(shè)AB方程為y＝k₁(x－m)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得k₁y²－4y－4k₁m＝0，y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4m，

AB中點(diǎn)，∴M(＋m，)；

同理，點(diǎn)N(＋m，)．

∵k₁＋k₂＝1，∴k_MN＝＝k₁k₂，

∴l_MN：y－＝k₁k₂[x－(＋m)]，即y＝k₁k₂(x－m)＋2，∴直線MN恒過定點(diǎn)(m,2)．