Question

9．已知直線l：xsinα-ycosα=1，其中α為常數(shù)且α∈[0，2π]，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（　�。�

• A． 直線l的傾斜角為α
• B． 無(wú)論α為何值，直線l總與一定圓相切
• C． 若直線l與兩坐標(biāo)軸都相交，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1
• D． 若P（x，y）是直線l上的任意一點(diǎn)，則x²+y²≥1

Answer 1

分析 舉例說(shuō)明A錯(cuò)誤；由點(diǎn)到直線的距離公式求得（0，0）到直線的距離判斷B；求出三角形面積公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性判斷C；由B說(shuō)明D正確．

解答 解：直線l：xsinα-ycosα=1，當(dāng)α=$\frac{3π}{2}$時(shí)，直線方程為：x=-1，直線的傾斜角為$\frac{π}{2}$，故A錯(cuò)誤；
∵坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）到直線xsinα-ycosα=1的距離為$\frac{|-1|}{\sqrt{si{n}^{2}α+（-cosα）^{2}}}$=1，
∴無(wú)論α為何值，直線l總與一定圓x²+y²=1相切，故B正確；
當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{sinαcosα}$|=|$\frac{1}{sin2α}$|≥1，故C正確；
∵無(wú)論α為何值，直線l總與一定圓x²+y²=1相切，故D正確．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線的傾斜角，點(diǎn)與直線的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)的值域等，是中檔題．