Question

7．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x-x²．
（1）求x＜0時f（x）的解析式；
（2）問是否存在正數(shù)a，b，當x∈[a，b]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域為[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]？若存在，求出所有的a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，x≥0時，f（x）=2x-x²，要求x＜0時，f（x）的解析式，可選取x＜0，得到-x＞0，代入x≥0時時的解析式，得到f（-x），再由f（-x）=-f（x），兩者聯(lián)立，即可求得x＜0時，f（x）的解析式，
（2）由題意，x＞0時，g（x）=-x²+2x，分類討論，結(jié)合g（x）的值域為[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當x≥0時，f（x）=2x-x²，∴f（-x）=-2x-x²，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴當x＜0時，f（x）=x²+2x．
（2）由題得，g（x）=-x²+2x，
當0＜a＜b＜1時，$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=\frac{a}{2}}\\{g（b）=\frac{2}}\end{array}\right.$，解得a=b=$\frac{3}{2}$，不合題意，舍去；
當0＜a＜1≤b時，g（x）的最大值為g（1）=1=$\frac{2}$，∴b=2，
又g（b）=g（2）=0∉[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，
∴b=2不合題意，舍去；
當1≤a＜b時，$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=\frac{2}}\\{g（b）=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，無解，舍去．
綜上，不存在正數(shù)a，b的值滿足題意．

點評 本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，判斷函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的最值，再利用函數(shù)的最值建立方程求出參數(shù)的值，利用最值建立方程是最值的一個非常重要的應(yīng)用，本題第一小題求利用奇函數(shù)的性質(zhì)求對稱區(qū)間上的解析式，是奇函數(shù)性質(zhì)的重要運用，注意總結(jié)此題的解法步驟