Question

19．若不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）≥m，對任意正實數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，9]
• D． （-∞，12]

Answer 1

分析 利用基本不等式，求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）的最小值，即可得出m的取值范圍．

解答 解：∵x，y均為正實數(shù)，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=5+2×2=9，
當且僅當$\frac{y}{x}$=$\frac{4x}{y}$，即y=2x時取等號，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）的最小值為9；
又不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）≥m對任意正實數(shù)x，y恒成立，
∴m≤9，
即m的取值范圍是（-∞，9]．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的應用問題，注意等號成立的條件是解題的關鍵，屬中檔題．