Question

8．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n²2ⁿ，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．

Answer 1

分析 兩次利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=n²2ⁿ，
則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2+2²×2²+3²×2³+…+n²•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2²×2³+…+（n-1）²•2ⁿ+n²•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹，
設數(shù)列{（2n-1）•2ⁿ}的前n項和為T_n，
則T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
∴-S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²•2ⁿ⁺¹=（2n-3-n²）•2ⁿ⁺¹+6，
∴S_n=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．
故答案為：（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．