Question

某外商到一開放區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元
（1）若扣除投資及各種經(jīng)費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤？
（2）若干年后，外商為開發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f（n），則由求和公式得到f（n）=-2n²+40n-72；
（1）令f（n）＞0，解出n即可判斷；
（2））①年平均利潤=

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

），由基本不等式即可求得最大值及n的值；
②f（n）=-2（n-10）²+128，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到最大值和n的值．
對照比較，即可得到答案．

解答： 解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f（n），
則f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72；
（1）獲純利潤就是要求f（n）＞0，
∴-2n²+40n-72＞0，解得2＜n＜18，
由n∈N知從第三年開始獲利；
（2）①年平均利潤=

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時取等號，
故此方案先獲利6×16+48=144（萬美元），此時n=6，
②f（n）=-2（n-10）²+128，
當(dāng)n=10時，f（n）|_max=128
故第②種方案共獲利128+16=144（萬美元）．
故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，
但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，
故選擇第①種方案．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用題，考查等差數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的知識求最值，屬于中檔題和易錯題．