Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，
（Ⅰ）若f（x）在(-∞， 

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]是減函數，在[

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， +∞)是增函數，求實數a的值；
（Ⅱ）求實數a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數，并指出相應的單調性．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）在(-∞， 

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]是減函數，在[

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， +∞)是增函數，可知二次函數的對稱軸為x=

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=-a，可求a；
（2）由f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數，說明對稱軸在此區(qū)間的一側，得到區(qū)間端點與對稱軸的關系．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，其對稱軸為x=-a，…（2分）
由f（x）在(-∞， 

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]是減函數，在[

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， +∞)是增函數，知     -a=

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…（4分）
所以，a=-

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．                                          …（6分）
（Ⅱ）f（x）的對稱軸為x=-a
當對稱軸在區(qū)間[-5，5]的左側時，函數y=f（x）在[-5，5]上是單調增函數．
所以-a≤-5，即a≥5                     …（8分）
當對稱軸在區(qū)間[-5，5]的右側時，函數y=f（x）在[-5，5]上是單調減函數．
所以-a≥5      即a≤-5；  …（10分）
即實數a的取值范圍是（-∞，-5]∪[5，+∞）     …（12分）

點評：本題考查了二次函數的單調性；二次函數的二次項系數以及對稱軸與區(qū)間的位置關系確定了區(qū)間的單調性．