Question

10．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{5}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負(fù)，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)y=$-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此時z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}+\frac{2}$=1，
則$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$）（$\frac{a}{3}+\frac{2}$）=$\frac{2}{3}$+1+$\frac{a}$+$\frac{2a}{3b}$≥$\frac{5}{3}$+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}{3b}}$=$\frac{5}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2a}{3b}$時取=號，
故答案為：$\frac{5}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

點(diǎn)評 本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．