Question

13．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|．當a＜0時，討論y=f（x）的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點個數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)h（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，對x討論去掉絕對值，再對a討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．

解答 解：設(shè)h（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，
當a＜0時，
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x+2a，x≥1}\\{{x}^{2}+（a-1）x，a≤x＜1}\\{{x}^{2}+（a+1）x-2a，x＜a}\end{array}\right.$，
由于h（0）=0，h（1）=a＜0．則h（x）的圖象過原點和點（t，0）（t＞1）；
所以當x＜0時，（�。゛≤-$\frac{1}{3}$時，對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$≥a，h（a）=a（2a-1）＞0，無零點；
（ⅱ）-$\frac{1}{3}$＜a＜-5+2$\sqrt{6}$時，△=a²+10a+1＜0，無零點；
（ⅲ）a=-5+2$\sqrt{6}$時，x=2-$\sqrt{6}$＜a=-5+2$\sqrt{6}$，一個零點；
（ⅳ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0時，△=a²+10a+1＞0，對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$，h（a）=a（2a-1）＞0，兩個零點；
綜上，（�。゛＜-5+2$\sqrt{6}$，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點有2個；
（ⅱ）a=-5+2$\sqrt{6}$時，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點有3個；
（ⅲ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0時，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點有4個．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，難點是分類討論，運算量大，分類多，屬于難題．