Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)，且在x=-1處取得極大值2．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1）對于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)知b=d=0，再由f（x）在x=-1處取得極大值2知$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3a+c=0}\\{f（-1）=-a-c=2}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）化簡f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1）為（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，從而分x=0與x≠0討論，從而化恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)，
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
又∵f（x）在x=-1處取得極大值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3a+c=0}\\{f（-1）=-a-c=2}\end{array}\right.$，
解得，a=1，c=-3；
故f（x）解析式為f（x）=x³-3x；
（2）∵f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1），
∴x³-3x+（m+2）x≤x²（e^x-1），
即（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，
當(dāng)x=0時，m∈R；
當(dāng)x＞0時，
m+2≤xe^x-x-x²+3，
即m≤x（e^x-x-1）+1，
令h（x）=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故h（x）＞h（0）=0；
∴x（e^x-x-1）+1＞1；
∴m≤1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．