Question

7．如果△ABC長均為正整數(shù)，且依次成公差不為零的等差數(shù)列，最短邊的長記為n，n∈N^*，那么稱△ABC為“n-等增整三角形”．有關“n-等增整三角形”的下列說法：
①“2-等增整三角形”是鈍角三角形；
②“3-等增整三角形”一定是直角三角形；
③“2015-等增整三角形”中無直角三角形；
④“n-等增整三角形”有且只有n-1個；
⑤當n為3的正整數(shù)倍時，“n-等增整三角形”中鈍角三角形有$\frac{2n}{3}$-1個．
正確的有①③④⑤．（請將你認為正確說法的序號都寫上）

Answer 1

分析 ①“2-等增整三角形”是邊長為2、3、4的鈍角三角形；
②“3-等增整三角形”是邊長為3、4、5的直角三角形，或3、5、7的鈍角三角形；
③用反證法證明命題成立；
④用歸納法得出命題成立；
⑤n為3的正整數(shù)倍時，設n=3k，k∈N^*，表示出三邊長，得出鈍角三角形的個數(shù)是多少．

解答 解：對于①，“2-等增整三角形”只有1個，邊長分別是2、3、4，
∵2²+3²＜4²，最大角α是鈍角，①正確；
對于②，“3-等增整三角形”有2個，邊長為3、4、5，或3、5、7；
當邊長為3、4、5時，是直角三角形，
當邊長為3、5、7時，是鈍角三角形，∴②錯誤；
對于③，假設“2015-等增整三角形”中有直角三角形，
不妨設三邊長為2015、2015+d、2015+2d，其中d∈N^*，
則2015²+（2015+d）²=（2015+2d）²，
解得d=$\frac{2015}{2}$∉N^*，∴假設不成立，③正確；
對于④，“n-等增整三角形”有且只有n-1個，
由①、②知，n=2、3時，命題成立，
猜想“n-等增整三角形”有且只有n-1個，命題也成立，∴④正確；
對于⑤，當n為3的正整數(shù)倍時，不妨設n=3k，k∈N^*，
“n-等增整三角形”的三邊長分別為3k、3k+d、3k+2d，d∈N^*，
當且僅當（3k）²+（3k+d）²＜（3k+2d）²，
即d＞$\frac{3k}{2}$時，∴k＜$\frac{2d}{3}$，為鈍角三角形，
∴鈍角三角形的個數(shù)有$\frac{2}{3}$n-1個，⑤正確；
綜上，正確的選項有①③④⑤．

點評 本題考查了推理與證明的應用問題，考查了歸納與猜想的應用能力，是綜合性題目．