Question

14．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值和最小值；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）在$（{\frac{1}{2}，2}）$單調(diào)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=3代入f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=3時(shí)，f（x）=-x²+3x=-${（x-\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{9}{4}$，
對(duì)稱軸x=$\frac{3}{2}$，函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）遞增，在（$\frac{3}{2}$，2]遞減，
∴函數(shù)的最大值是f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$，函數(shù)的最小值是f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
（2）函數(shù)的對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$，
若函數(shù)f（x）在$（{\frac{1}{2}，2}）$單調(diào)，
則$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$或$\frac{a}{2}$≥2，解得：a≤1或a≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．