Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$和直線l：x+y-4=0，求橢圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)能求出橢圓上的點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

解答 解：橢圓C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$和直線l：x+y-4=0，
設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
∴橢圓上的點(diǎn)P到直線l的距離：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{3}$）=1時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到直線l的距離取最小值d_min=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．