Question

3．己知函數(shù)f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min﹛（f（x），g（x）} （x＞0），則當(dāng)-$\frac{5}{4}$＜a＜-$\frac{3}{4}$時(shí)，h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 分類(lèi)討論，從而分別確定在各段上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而確定總零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：①當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=-lnx＜0，
故函數(shù)h（x）=min﹛（f（x），g（x）} 在（1，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；
②當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=-ln1=0，f（1）=1+a+$\frac{1}{4}$＞0，
故h（1）=0；
故1是函數(shù)h（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
③當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）=-lnx＞0，
f′（x）=3x²+a=（$\sqrt{3}x$-$\sqrt{-a}$）（$\sqrt{3}$x+$\sqrt{-a}$），
故f（x）在x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$時(shí)有最小值，
而f（0）=$\frac{1}{4}$，f（$\sqrt{\frac{-a}{3}}$）=$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{-a}{3}}$+$\frac{1}{4}$＜0，f（1）=1+a+$\frac{1}{4}$＞0，
故f（x）在（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
故h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用．