Question

（本小題滿分12分）

右圖為某校語言類專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評(píng)成績（百分制）分布直方圖，已知80~90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人

（I）求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；

（II）現(xiàn)欲將90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的名畢業(yè)生分配往甲、乙、丙三所學(xué)校，若向?qū)W校甲分配兩名畢業(yè)生，且其中至少有一名男生的概率為，求名畢業(yè)生中男女各幾人（男女人數(shù)均至少兩人）？

（III）在（II）的結(jié)論下，設(shè)隨機(jī)變量表示n名畢業(yè)生中分配往乙學(xué)校的三名學(xué)生中男生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（I）6；（II）名畢業(yè)生中有男生人,女生人；（III）

【解析】

試題分析：(1)解決頻率分布直方圖的問題，關(guān)鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，這些數(shù)據(jù)中，比較明顯的有組距、，間接的有頻率，小長方形的面積，合理使用這些數(shù)據(jù)，再結(jié)合兩個(gè)等量關(guān)系：小長方形的面積等于頻率，小長方形的面積之和等于1，因此頻率之和為1；（2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）頻率分布直方圖中，注意小矩形的高是，而不是頻率.（4）求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確；（5)求解離散隨機(jī)變量分布列和方差，首先要理解問題的關(guān)鍵，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所有可能值，計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的概率，寫成隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：(Ⅰ) 分?jǐn)?shù)段的畢業(yè)生的頻率為,此分?jǐn)?shù)段的學(xué)員總數(shù)為人所以畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)為 2分

分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為

所以分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù) 4分

(Ⅱ) 分?jǐn)?shù)段內(nèi)共名畢業(yè)生,設(shè)其中男生名,女生為名

設(shè)分配往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件,則

則

解得或(舍去)

即名畢業(yè)生中有男生人,女生人 8分

(Ⅲ) 表示名畢業(yè)生中分配往甲學(xué)校的兩名學(xué)生中男生的人數(shù),

所以的取值可以為

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

所以的分布列為

所以隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望為 12分

考點(diǎn)：頻率分布直方圖即隨機(jī)變量的期望、方差.