Question

10．直角梯形ABCD，滿足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2現(xiàn)將其沿AC折疊成三棱錐D-ABC，當(dāng)三棱錐D-ABC體積取最大值時其外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$
• B． $\frac{4}{3}π$
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 畫出圖形，確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的體積即可．

解答 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折疊成三棱錐，
如圖：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴BC⊥AC，
取AC的中點E，AB的中點O，連結(jié)DE，OE，
∵三棱錐體積最大時，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半徑為1，
此時三棱錐外接球的體積：$\frac{4π}{3}×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查折疊問題，三棱錐的外接球的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．