Question

11．過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為B，與y軸的交點為C，已知$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a），利用$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$，求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求解離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為3x²+4y²-12t=0，聯(lián)立y=kx+m，利用y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點，△=0，通過PM⊥QM數(shù)量積為0，得到方程．求解可得橢圓方程．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-a，0），設(shè)直線方程為y=2（x+a），B（x₁，y₁）
令x=0，則y=2a，∴C（0，2a），-------------------（1分）
∴$\overrightarrow{AB}=（{x_1}+a，{y_1}），\overrightarrow{BC}=（-{x_1}，2a-{y_1}）$
∵$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$
∴x₁+a=$\frac{6}{13}（-{x_1}），{y_1}=\frac{6}{13}（2a-{y_1}）$，整理得${x_1}=-\frac{13}{19}a，{y_1}=\frac{12}{19}a$------------（2分）
∵B點在橢圓上，∴${（\frac{13}{19}）^2}+{（\frac{12}{19}）^2}•\frac{a^2}{b^2}=1$，∴$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，即$1-{e^2}=\frac{3}{4}$，∴$e=\frac{1}{2}$-------------------（4分）
（Ⅱ）∵$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，可設(shè)b²=3t．a(chǎn)²=4t，∴橢圓的方程為3x²+4y²-12t=0
由$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+4{y^2}-12t=0\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0-------------------（5分）
∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P
∴△=0，即64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12t）=0
整理得m²=3t+4k²t------------------（8分）                                 
設(shè)P（x₁，y₁）則有${x_1}=-\frac{8km}{{2（3+4{k^2}）}}=-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}$，${y_1}=k{x_1}+m=\frac{3m}{{3+4{k^2}}}$
∴$P（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，
∴$（1+\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）•（-3，-（4k+m））=0$恒成立
整理得3+4k²=m²，------------------（10分）
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$------------------（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力，知識綜合性強．