Question

18．如圖所示，矩形ABCD中，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于點G．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BFD；
（Ⅱ）求三棱錐C-BFG的體積．

Answer 1

分析 （1）連結FG，證明FG∥AE，然后證明AE∥平面BFD．
（2）利用V_C-BGF=V_G-BCF，求出S_△CFB．證明FG⊥平面BCF，求出FG，即可求解幾何體的體積．

解答 （1）證明：由題意可得G是AC的中點，連結FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC=BE，∴F是EC的中點，…（2分）
在△AEC中，F(xiàn)G∥AE，∴AE∥平面BFD．…（5分）
（2）解：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（8分）
∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中點，F(xiàn)是CE中點，
∴FG∥AE且FG=$\frac{1}{2}$AE=1．∴Rt△BCE中，BF=$\frac{1}{2}$CE=CF=$\sqrt{2}$，…（10分）
∴S_△CFB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．∴V_C-BGF=V_G-BCF=$\frac{1}{3}$•S_△CFB•FG=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，三角錐的體積的求法，考查轉化思想以及計算能力．