Question

11．一次測試中，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從中抽取了n個學(xué)生的成績（滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；
（2）在選取的樣本中，從成績是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名參加志愿者活動，設(shè)X表示所抽取的3名同學(xué)中得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生個數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望及方差．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖，結(jié)合頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值．
（2）由題意，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的有4人，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的有2人，成績是80分以上（含80分）的學(xué)生共6人．從而抽取的3名同學(xué)中得分在[80，90）的學(xué)生人數(shù)X的所有可能的取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的數(shù)學(xué)期望及方差．

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量$n=\frac{8}{0.02×10}=40$，
$y=\frac{2}{40}÷10=0.005$，
$x=\frac{1-（0.02+0.04+0.01+0.005）×10}{10}=0.025$（1）．…（6分）
注：（1）中的每一列式與計算結(jié)果均為（1分）．
（2）由題意，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的有4人，
分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的有2人，成績是80分以上（含80分）的學(xué)生共6人．
從而抽取的3名同學(xué)中得分在[80，90）的學(xué)生人數(shù)X的所有可能的取值為1，2，3．…（7分）
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_6^3}=\frac{1}{5}$．…（10分）
所以，$E（X）=1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$，
$D（X）={（1-2）^2}×\frac{1}{5}+{（2-2）^2}×\frac{3}{5}+{（3-2）^2}×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．