Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在x=$\frac{1}{4}$處的切線為l，函數(shù)g（x）=kx+m（m≥0）的圖象與l平行．
（1）當(dāng)m=$\frac{9}{4}$時(shí)，求f（x）圖象上的點(diǎn)到g（x）圖象上點(diǎn)的最短距離；
（2）若不等式|f（x）-mg（x）|≤|f（x）|對(duì)x∈[1，4]恒成立，求m的取值區(qū)間M．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)T，可得g（x）的解析式，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得最小值；
（2）由題意可得|$\sqrt{x}$-m（x+m）|≤$\sqrt{x}$對(duì)x∈[1，4]恒成立，即有2$\sqrt{x}$-mx-m²≥0，令t=$\sqrt{x}$∈[1，2]，即有mt²-2t+m²≤0，對(duì)t∈[1，2]，恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在x=$\frac{1}{4}$處的切線斜率為k=1，
則直線g（x）=x+$\frac{9}{4}$，
由切線的切點(diǎn)T（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
由T到直線的距離為d=$\frac{|\frac{1}{4}+\frac{9}{4}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
即有f（x）的圖象上的點(diǎn)到直線g（x）的最短距離為$\sqrt{2}$；
（2）不等式|f（x）-mg（x）|≤|f（x）|對(duì)x∈[1，4]恒成立，
即為|$\sqrt{x}$-m（x+m）|≤$\sqrt{x}$對(duì)x∈[1，4]恒成立，
即有-$\sqrt{x}$≤$\sqrt{x}$-m（x+m）≤$\sqrt{x}$，
即有2$\sqrt{x}$-mx-m²≥0，令t=$\sqrt{x}$∈[1，2]，
即有mt²-2t+m²≤0，對(duì)t∈[1，2]，恒成立，
即有m-2+m²≤0且4m-4+m²≤0，
解得-2≤m≤1且-2-2$\sqrt{2}$≤m≤-2+2$\sqrt{2}$，
可得-2≤m≤2$\sqrt{2}$-2，又m≥0，
可得m的取值區(qū)間為M=[0，2$\sqrt{2}$-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，以及不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．