Question

18．己知g（x）的圖象與h（x）=x+$\frac{1}{x-2}$-2的圖象關于點A（1，0）對稱，若f（x）=g（x）x+ax且f（x）在區(qū)間（0，1]上為增函數，則實數a的取值范圍為[0，+∞）．

Answer 1

分析 可設g（x）上的任意點為（x，y），從而可以求出該點關于（1，0）點的對稱點，根據題意可知該對稱點在h（x）的圖象上，帶入h（x）解析式便可得出$g（x）=x+\frac{1}{x}$，從而可求出f（x）=x²+ax+1，而f（x）在（0，1）上為增函數，這樣根據二次函數的單調性便可得到關于a的不等式，從而便可得出實數a的取值范圍．

解答 解：設g（x）上任意點為（x，y），則點（x，y）關于（1，0）的對稱點為（2-x，-y），帶入$h（x）=x+\frac{1}{x-2}-2$得：
$-y=2-x+\frac{1}{2-x-2}-2$；
∴$y=x+\frac{1}{x}$；
∴$g（x）=x+\frac{1}{x}$；
$f（x）=g（x）x+ax=（x+\frac{1}{x}）x+ax$=x²+ax+1，對稱軸為$x=-\frac{a}{2}$；
∵f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數；
∴$-\frac{a}{2}≤0$；
∴a≥0；
∴實數a的取值范圍為[0，+∞）．
故答案為：[0，+∞）．

點評 考查一個點關于另一個點的對稱點的求法，一函數圖象關于一點對稱時，對稱圖象的函數解析式的求法，以及二次函數的單調性，二次函數的對稱軸．