Question

9．已知動圓C過點（1，0），且于直線x=-1相切．
（1）求圓心C的軌跡M的方程；
（2）A，B是M上的動點，O是坐標原點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求證：直線AB過定點，并求出該點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用動圓C過點（1，0），且與直線x=-1相切，可得圓心C的軌跡M是以（1，0）為焦點的拋物線，即可得到動點M的軌跡方程．
（2）先設點A，BD的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），因為A，B兩點在拋物線y²=4x上，代入拋物線方程，找出每個點橫縱坐標的關系式，再因為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，得到x₁x₂+y₁y₂=-4，設直線AB的方程為x=my+t，代入拋物線方程，利用韋達定理，可求t的值，即可求出該定點P的坐標．

解答 解：（1）動圓C過點（1，0），且與直線x=-1相切，
∴圓心C的軌跡M是以（1，0）為焦點的拋物線，
∴圓心C的軌跡M的方程為y²=4x；
（2）設點A，B的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．       
∵A，B在拋物線y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x₁+x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$．
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4，
∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=-4，
∴y₁y₂=-8．    
設直線AB的方程為x=my+n，
聯(lián)立消元得：y²-4my-4n=0，則：y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
∴-4n=-8⇒n=2，∴直線AB的方程為x=my+2，
∴直線AB恒過定點，且定點坐標為（2，0）．

點評 本題主要考查了直接法求軌跡方程，以及直線與拋物線相交關系的判斷，關鍵在于若何找到各參數(shù)之間的關系，減少參數(shù)的個數(shù)．