Question

19．以正棱柱兩個底面的內(nèi)切圓面為底面的圓柱叫做它的內(nèi)切圓柱，以正棱柱兩個底面的外接圓面為底面的圓柱叫做它的外接圓柱．
（Ⅰ）求正三棱柱與它的外接圓柱的體積之比；
（Ⅱ）若正三棱柱的高為6cm，其內(nèi)切圓柱的體積為24πcm³，求正三棱柱的底面邊長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，則底面外接圓半徑$R=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，即可求正三棱柱與它的外接圓柱的體積之比；
（Ⅱ）內(nèi)切圓半徑$r=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，利用內(nèi)切圓柱的體積為24πcm³，求正三棱柱的底面邊長．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，則底面外接圓半徑$R=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$…．（2分）
∴${V_{三棱柱}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}h，\;\;\;\;\;\;\;{V_{外接圓柱}}=π{R^2}h=π{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}h=\frac{a^2}{3}πh$…..（5分）
∴$\frac{{{V_{三棱柱}}}}{{{V_{外接圓柱}}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}h}}{{\frac{π}{3}{a^2}h}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4π}$…．（7分）
（Ⅱ）∵內(nèi)切圓半徑$r=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，…．（8分）
∴${V_{內(nèi)切圓柱}}=π{r^2}h=π{（\frac{{\sqrt{3}}}{6}a）^2}×6=\frac{a^2}{2}π=24π$…（10分）
∴${a^2}=48，a=4\sqrt{3}$
∴可求得底面邊長為$4\sqrt{3}cm$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查正三棱柱與它的外接圓柱的體積之比，考查體積的計算，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．