Question

4．過圓O：x²+y²=r²（r＞0）上一點(diǎn)M作圓O的切線l與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），r=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，4），求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值
（2）若r=1，直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且N是線段CD的中點(diǎn)，求中點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）過M（2，2）的圓O的切線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積公式，可得答案；
（2）求出圓上一點(diǎn)M的切線方程，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x，y），由橢圓方程，運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得CD的斜率，結(jié)合m²+n²=1，消去m，n即可得到所求軌跡方程．

解答 解：（1）由題意可得圓x²+y²=8，過M（2，2）的切線方程為y-2=-（x-2），
即為y=4-x，
代入橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$，可得：13x²-32x-80=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{20}{13}}\\{y=\frac{72}{13}}\end{array}\right.$，即有A（4，0），B（-$\frac{20}{13}$，$\frac{72}{13}$），
又由C（4，4）得：$\overrightarrow{CA}$=（0，-4），$\overrightarrow{CB}$=（-$\frac{72}{13}$，$\frac{20}{13}$）
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0×（-$\frac{72}{13}$）+（-4）×$\frac{20}{13}$=-$\frac{80}{13}$；
（2）圓x²+y²=1，設(shè)M（m，n），則切線的方程為l：mx+ny=1，且m²+n²=1，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x，y），
由N是線段CD的中點(diǎn)，可得2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{36}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{36}$=1，兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{36}$=0，
代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9x}{4y}$，
即有$\frac{m}{n}$=$\frac{9x}{4y}$，又m²+n²=1，解得m=$\frac{9x}{\sqrt{81{x}^{2}+16{y}^{2}}}$，n=$\frac{4y}{\sqrt{81{x}^{2}+16{y}^{2}}}$，
代入mx+ny=1，化簡(jiǎn)可得，
81x⁴+16y⁴+72x²y²-81x²-16y²=0．
則有中點(diǎn)N的軌跡方程為81x⁴+16y⁴+72x²y²-81x²-16y²=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相切，同時(shí)考查直線和橢圓的位置關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求軌跡的方程的方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．