Question

11．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，都有f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，且當x∈（0，$\frac{3}{2}$]時，f（x）=log₂（2x+1），則f（-2015）+f（2013）=-2014．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：當x＞0時，都有f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，
則f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$）f（x+$\frac{3}{2}$），
即f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=f（x+3）f（x+$\frac{3}{2}$），
則f（x+3）=f（x），此時函數(shù)的周期為3．
f（-2015）=-f（2015）=-f（2），
∵f（2）=f（$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$）=$\frac{2014}{f（\frac{1}{2}）}$=$\frac{2014}{lo{g}_{2}（2×\frac{1}{2}+1）}$=$\frac{2014}{lo{g}_{2}2}$=2014，
∴f（-2015）=-f（2）=-2014，
∵f（2013）=f（0）=0，
∴f（-2015）+f（2013）=-2014+0=-2014，
故答案為：-2014

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)的奇偶性和周期性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．