Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x-7，其導函數(shù)為f′（x），則以下4個命題：
①f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，2）；
②f（x）的極小值是-15；
③f（x）有且只有一個零點；
④當a＞2時，對任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x=-$\frac{2}{3}$，x₂=2，分別求出函數(shù)的極大值和極小值，知①②③正確；由a＞2，x＞2且x≠a，令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），利用導數(shù)證明g_min（x）＞0即可0，故④正確

解答 解：f（x）=x³-2x²-4x-7，其導函數(shù)為f′（x）=3x²-4x-4．
令f′（x）=0，解得x=-$\frac{2}{3}$，x=2，
當f′（x）＞0時，即x＜-$\frac{2}{3}$，或x＞2時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即-$\frac{2}{3}$＜x＜2時，函數(shù)單調(diào)遞減；
故當x=2時，函數(shù)有極小值，極小值為f（-2）=-15，當x=-$\frac{2}{3}$時，函數(shù)有極大值，極大值為f（$\frac{2}{3}$）＜0，
故函數(shù)只有一個零點，
①②③正確；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），
則g'（x）=3x²-4x-4-（3a²-4a-4），記g'（x）=h（x），
因為當x＞2時，h'（x）=6x-4＞0，則h（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，
又因為g'（a）=h（a）=0，
所以當2＜x＜a時，g'（x）＜0，當x＞a時，g'（x）＞0，
所以g（x）在（2，a）遞減，在（a，+∞）遞增，又x≠a，
所以g（x）＞g（a）=0成立，故④正確；
所以中真命題的個數(shù)為4個，
故選：D

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．