Question

如圖，己知斜率為1的直線l與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3），設(shè)右焦點(diǎn)為F，|DF|•|BF|=17．
（Ⅰ）求C的離心率；   
（Ⅱ）求雙曲線C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由直線過點(diǎn)（1，3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于BD兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出a，b的關(guān)系式即求得離心率．
（Ⅱ）利用離心率將條件|BF|•|FD|=17，用含a的代數(shù)式表示，即可求得a，從而可得雙曲線C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，l的方程為：y=x+2，代入C的方程，并化簡，
得（b²-a²）x²-4a²x-a²b²-4a²=0，
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4a2

b2-a2

，x₁x₂=-

4a2+a2b2

b2-a2

，①
由M（1，3）為BD的中點(diǎn)知x₁+x₂=2．
故

4a2

b2-a2

=2，即b²=3a²，所以離心率e=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)雙曲線方程為3x²-y²=3a²，A（a，0），F(xiàn)（2a，0），
故不妨設(shè)x₁≤-a，x₂≥a，|BF|=

(x1-2a)2+y12

=a-2x₁，|FD|=

(x2-2a)2+y22

=2x₂-a
|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²=5a²+4a+8．
又|BF|•|FD|=17，故5a²+4a+8=17．
解得a=1，或a=-

9

5

（舍去），
故雙曲線方程為x2-

y2

3

=1

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線、直線與雙曲線的知識，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力．