Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x+x²（x＜0），g（x）=x²-4x+$\frac{9}{2}$+ln（x+t-2），若f（x）的圖象上存在一點P，它關(guān)于直線x=1的對稱點P′落在y=g（x）的圖象上，則t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）
• B． （-$\sqrt{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）
• C． （-$\frac{1}{\sqrt{e}}$，$\sqrt{e}$）
• D． （0，$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由題意可得e^x₀-$\frac{1}{2}$-8x₀-ln（t-x₀）=0有負根，函數(shù)函數(shù)h（x）=e^x-8x-$\frac{1}{2}$-ln（t-x）為增函數(shù)，由此能求出t的取值范圍．

解答 解：f（x）的圖象上存在一點P（x，y），關(guān)于直線x=1的對稱點P′（2-x，y），
∴e^x+x²=（x-2）²-4（2-x）+$\frac{9}{2}$+ln（2-x+t-2）=（x-2）²-4（2-x）+$\frac{9}{2}$+ln（t-x），
即e^x-8x-$\frac{1}{2}$-ln（t-x）=0，
存在x₀∈（-∞，0），即e^x₀-$\frac{1}{2}$-8x₀-ln（t-x₀）=0有負根，
∵當x趨近于負無窮大時，e^x₀-$\frac{1}{2}$8x₀-ln（t-x₀）也趨近于負無窮大，
∴函數(shù)h（x）=e^x-8x-$\frac{1}{2}$-ln（t-x）為增函數(shù)，
∴h（0）=$\frac{1}{2}$-lnt＞0，
∴l(xiāng)nt＜ln$\sqrt{e}$，
∴0＜t＜$\sqrt{e}$
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的極限，是函數(shù)圖象和性質(zhì)較為綜合的應用，難度大．