Question

7．在某學(xué)校組織的一次利于定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次．某同學(xué)在A處的命中率q₁為$\frac{1}{4}$，在B處的命中率為q₂．該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為：

ξ	0	2	3	4	5
P	$\frac{3}{25}$	p1	p2	p3	p4

（I）求q₂的值；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)知，“ξ=0”對應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”由對立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)求的概率．
（Ⅱ）由題意列出隨機(jī)變量的所有情況以及求出其概率繼而得到期望．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，“ξ=0”對應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”
由對立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)可知，
P（ξ=0）=（1-q₁）$（1-{q}_{2}）^{2}=\frac{3}{25}$
即$\frac{3}{4}（1-{q}_{2}）^{2}=\frac{3}{25}$，解得${q}_{2}=\frac{3}{5}$
（Ⅱ）由題意知：
P₁=P（ξ=2）=$（1-\frac{1}{4}）{C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{36}{100}$，
P₂=P（ξ=3）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{100}$
P₃=P（ξ=4）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{27}{100}$
P₄=P（ξ=5）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{5}+\frac{1}{4}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{21}{100}$
∴Eξ=$0×\frac{3}{25}+2×\frac{36}{100}+3×\frac{4}{100}+4×\frac{27}{100}$$+5×\frac{21}{100}=\frac{288}{100}=2.88$

點(diǎn)評 本題主要考查了對立事件和相互獨(dú)立事件愛你的性質(zhì)以及隨機(jī)變量的期望的求法，屬中檔題型．