Question

【題目】直四棱柱被平面所截，所得的一部分如圖所示，．

（1）證明：平面；

（2）若，，平面與平面所成角的正切值為，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）要證線(xiàn)面平行只要證平面外一條直線(xiàn)平行于平面內(nèi)一條直線(xiàn)即可，本題證明為平行四邊形即可得證；

（2）根據(jù)所給關(guān)系，建立直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用平面與平面所成角的正切值為，可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再利用幾何關(guān)系或者投影即可得解.

（1）依題：平面與兩平行平面，的交線(xiàn)分別為，，

故有，又，故有平行四邊形，

∴，面，面，∴平面．

（2）中，由余弦定理可得，由勾股定理得，又平面，

故而，，兩兩垂直，如圖建系．

【法一求】取中點(diǎn)，由，得平行四邊形，

∴，平面，作，（連），又，

∴平面，得，又，∴為所求二面角的平面角．

易求，又，．

【法二求】面的法向量顯然為，設(shè)面的法向量為，，

，令，，依題：．

由平面，點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，，，

，設(shè)平面的法向量為，可為，

．