Question

9．已知數(shù)列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2+a_n=2a_n+1．
（1）則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=-2n+10；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{|a_n|}的前n項和，則S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)定義得到數(shù)列是等差數(shù)列，然后根據(jù)通項公式的基本元素得到結(jié)論．
（2）令a_n≥0，得n≤5，即當n≤5時a_n≥0，n≥6時a_n＜0，需要分類討論得到和式

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2+a_n=2a_n+1
可知數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=$\frac{2-8}{4-1}$=-2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=-2n+10   
即：a_n=-2n+10．  
（2）a_n=-2n+10，n∈N^*．
a_n=-2n+10≥0，解得n≤5，
a₅=-2×5+10=0，a₆=-2×6+10=-2＜0，
∴當n≤5時，S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}•n$=-n²+10n．
S₅=25．
當n≥6時，T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇-…-a_n=-S_n+2S₅=n²-10n+50．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．
故答案為：（1）a_n=-2n+10．
（2）$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點評 本試題主要是考查了等差數(shù)列的判斷，通項公式以及數(shù)列求和的綜合運用．