Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x，（a為實數(shù)）
（1）當a=5時，求函數(shù)y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程；
（2）若存在不等實根x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，e]，使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=5代入函數(shù)g（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，得到g（1）和g′（1），由直線方程的點斜式得切線方程；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分離變量a，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，由導(dǎo)數(shù)求出其在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值，則實數(shù)a的取值范圍可求．

解答 解：（1）當a=5時，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切線的斜率為g′（1）=4e，
則切線方程為：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（2）由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
令h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，h′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．

x	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值（最小值）	單調(diào)遞增

h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+3e-2，h（1）=4，h（e）=$\frac{3}{e}$+e+2．
h（e）-h（$\frac{1}{e}$）=4-2e+$\frac{2}{e}$＜0．
則使方程g（x）=2e^xf（x）存在兩不等實根的實數(shù)a的取值范圍為4＜a≤e+2+$\frac{3}{e}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，關(guān)鍵在于由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性，考查利用構(gòu)造函數(shù)法求解含字母系數(shù)的范圍問題，解答的技巧是分離字母系數(shù)．