Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），若正實數(shù)a，b滿足f（2a）+f（b-1）=0，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 可判斷f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）在其定義域上是增函數(shù)且是奇函數(shù)，從而可得2a+b=1；從而化簡$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{a}$+$\frac{2a}$+3，從而利用基本不等式求最小值．

解答 解：∵f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
f（-x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（x）+f（-x）
=ln[（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）]
=ln1=0，
∴函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為R上的奇函數(shù)，
又y=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在其定義域上是增函數(shù)，
故f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）在其定義域上是增函數(shù)，
∵f（2a）+f（b一1）=0，
∴2a+b-1=0，
故2a+b=1；
故$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{2a+b}{a}$+$\frac{2a+b}$
=2+$\frac{a}$+$\frac{2a}$+1
=$\frac{a}$+$\frac{2a}$+3
≥2$\sqrt{2}$+3．
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2a}$，即a=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{2}$-1時，等號成立），
故答案為：2$\sqrt{2}$+3．

點評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷與應(yīng)用．