14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,E為AD上一點,F(xiàn)為PC上一點,四邊形BCDE為矩形,∠PAD=60°,PB=2$\sqrt{3}$,PA=ED=2AE=2.
(1)若$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PC}$(λ∈R),且PA∥平面BEF,求λ的值;
(2)求證:PE⊥平面ABCD;
(3)求直線PB與平面ABCD所成的角.

分析 (1)連接AC交BE于點M,連接FM,根據(jù)PA與平面BEF平行,且平面PAC與平面BEF交于直線FM,得到FM與AP平行,再由EM與CD平行得比例,即可確定出λ的值;
(2)在直角三角形APE中,由AP與AE的長,利用余弦定理求出PE的長,可得PE與AD垂直,再由平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,即可得證;
(3)由(2)可得PE垂直于平面ABCD,可得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角,利用銳角三角函數(shù)定義求出所求角即可.

解答 (1)解:連接AC交BE于點M,連接FM,
∵PA∥平面BEF,平面PAC∩平面BEF=FM,
∴FM∥AP,
∵EM∥CD,
∴$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{1}{2}$,
∵FM∥AP,
∴$\frac{PF}{FC}$=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{2}$,
∴λ=$\frac{1}{3}$;
(2)∵AP=2,AE=1,∠PAD=60°,
∴PE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴PE⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PE⊥平面ABCD;
(3)由(2)知,PE⊥平面ABCD,
∴∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角,
在Rt△PEB中,sin∠PBE=$\frac{PE}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$,即∠PBE=30°,
則直線PB與平面ABCD所成的角為30°.

點評 此題考查了直線與平面所成的角,以及直線與平面垂直的判定,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵.

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