Question

19．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：
（Ⅰ）$\frac{1}{a}+\frac{1}≥4$；
（Ⅱ）（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²≥$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞0，b＞0，且a+b=1，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$，運用基本不等式即可得證；
（Ⅱ）先證x²+y²≥$\frac{1}{2}$（x+y）²，則（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²≥$\frac{1}{2}$[（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}$）]²，再由（Ⅰ）的結(jié)論，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，且a+b=1，
則有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時不等式取得等號；
（Ⅱ）由x²+y²≥2xy，可得2（x²+y²）≥x²+y²+2xy，
即2（x²+y²）≥（x+y）²，
可得x²+y²≥$\frac{1}{2}$（x+y）²，
則（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²≥$\frac{1}{2}$[（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}$）]²
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²≥$\frac{1}{2}$（1+4）²=$\frac{25}{2}$．
即有（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}$）²≥$\frac{25}{2}$．
當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時不等式取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用“1”的代換和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．