Question

17．函數(shù)u=$\sqrt{2t+4}$+$\sqrt{6-t}$的值域是[2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)x=$\sqrt{2t+4}$，y=$\sqrt{6-t}$，將條件轉(zhuǎn)化為直線和橢圓的位置關(guān)系進行求解即可．

解答 解：設(shè)x=$\sqrt{2t+4}$，y=$\sqrt{6-t}$，則x²=2t+4，y²=6-t，消去t得x²+2y²=16，即$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，（0≤x≤4，0≤y≤2$\sqrt{2}$），
則函數(shù)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)u的直線y=-x+u，
如圖：知當(dāng)直線經(jīng)過（0，2$\sqrt{2}$）時，u最小為2$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線與橢圓相切與第一象限時，u取得最大值，
此時由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+u}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得3x²-4ux+2u²-16=0，
由判別式△=0得16u²-12（2u²-16）=0，
即u²=24，則u=$2\sqrt{6}$或u=-$2\sqrt{6}$，
∵直線過第一象限，∴u_max=$2\sqrt{6}$，
故所求的函數(shù)的值域為[2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{6}$]，
故答案為：[2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{6}$]，

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法，轉(zhuǎn)化為直線和橢圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．