Question

4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則此棱錐與其外接球的體積比是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{9π}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{9π}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{16π}$
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{π}$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個四棱錐，畫出直觀圖可知該棱錐是正方體的一部分，由三視圖求出正方體的棱長，求出外接球的半徑，利用球的體積公式求出外接球的體積，由正方體的性質(zhì)求出椎體的高，由椎體的體積公式求出該幾何體的體積，求出此棱錐與其外接球的體積比．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱錐P-ABCD，如圖所示：
由圖知該棱錐是正方體的一部分，且正方體的棱長是2，
∴正方體和四棱錐的外接球相同，
設(shè)外接球的半徑是R，則2R=2$\sqrt{3}$，得R=$\sqrt{3}$，
∴外接球的體積V_球=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}π$，
∵BC=AD=$2\sqrt{2}$，AB⊥AD，∴矩形ABCD的面積S=4$\sqrt{2}$，
∵CD⊥平面PBC，
∴P到平面ABCD的距離是等腰直角△PBC斜邊BC的高，為$\sqrt{2}$，
∴四棱錐P-ABCD的體積V_錐=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$，
∴此棱錐與其外接球的體積比是：$\frac{\frac{8}{3}}{4\sqrt{3}π}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9π}$，
故選：A．

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積，線面垂直關(guān)系的判斷，由三視圖和對應(yīng)的正方體正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．