Question

17．將5個全等的正方形按如圖所示方式放置在一個的矩形OEFG內(nèi)，其中頂點P、C、Q、D分別在矩形的四條邊上．
（1）設(shè)向量$\overrightarrow{PA}$=a，$\overrightarrow{PB}$=b，以向量a，b為基底，則向量$\overrightarrow{CD}$=3b-2a（用向量a，b表示）；
（2）若OE=7，OG=8，則圖中5個正方形的邊長都為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）把要求的向量表示成以小正方形的邊為向量的形式，得到的關(guān)于正方形邊的式子，得到結(jié)果．
（2）建立直角坐標系，用x、y表示出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$，在表示出含有OE、OG的向量，聯(lián)立方程組解出答案即可．

解答 解：（1）由圖可知，做點E、F，
延長DE、CF，交于點M；
∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}$=$3\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PA}$=3b-2a；
（2）如圖所示建立直角坐標系，連接PQ；
設(shè)$\overrightarrow{PA}=（x，y）$，則$\overrightarrow{PB}=（-y，x）$；
∴$\overrightarrow{CD}$=3b-2a=（-2x-3y，3x-2y）；
$\overrightarrow{PQ}$=3a+b=（3x-y，x+3y）；
∵OE=7，OG=8，則$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=7}\\{3x-2y=8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{5}$，
即正方形的邊長為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查向量的基本定理，這種問題解起來方向非常明確，只要把要用的向量寫成已知條件比較多的正方形的邊的形式就可以．