Question

7．“α為第一象限角”是“$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$≥2”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)的取值符號和基本不等式進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若α為第一象限角，則sinα＞0，cosα＞0，
則$\frac{sinα}{cosα}$＞0，$\frac{cosα}{sinα}$＞0，
則$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$$≥2\sqrt{\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$，即sin²α=cos²α，
sinα=cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z取等號，故充分性成立，
當(dāng)α為第三象限角，則sinα＜0，cosα＜0，
則$\frac{sinα}{cosα}$＞0，$\frac{cosα}{sinα}$＞0，
則由$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$$≥2\sqrt{\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$，即sin²α=cos²α，
sinα=cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，取等號，故必要性不成立，
故“α為第一象限角”是“$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$≥2”的充分不必要條件，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查充分條件和必要條件，結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍和基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．