Question

7．設函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k＞0．
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個零點．

Answer 1

分析 （1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函數(shù)的單調區(qū)間并能求出極值；
（2）利用函數(shù)的導數(shù)的極值求出最值，利用最值討論存在零點的情況．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}-klnx（k＞0）\\;\\;得$
f'（x）=x-$\frac{k}{x}=\frac{{x}^{2}-k}{x}$
由f'（x）=0解得x=$\sqrt{k}$
f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

X	（0，$\sqrt{k}$）	$\sqrt{k}$	（$\sqrt{k}，+∞$）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	$\frac{k（1-lnk）}{2}$	↑

所以，f（x）的單調遞增區(qū)間為（$\sqrt{k}，+∞$），單調遞減區(qū)間為（0，$\sqrt{k}$）；
f（x）在x=$\sqrt{k}$處的極小值為f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k（1-lnk）}{2}$，無極大值．
（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因為f（x）存在零點，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，從而k≥e
當k=e時，f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上單調遞減，且f（$\sqrt{e}$）=0
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上唯一零點．
當k＞e時，f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{e}$）上單調遞減，且$f（1）=\frac{1}{2}＞0，f（\sqrt{e}）=\frac{e-k}{2}＜0$，
所以f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$）上僅有一個零點．
綜上所述，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個零點．

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)求單調區(qū)間和導數(shù)的綜合應用，在高考中屬于常見題型．