Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），且離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求橢圓的標準方程
（2）若直線y=$\sqrt{2}$（x-1）與橢圓交于A，B兩點，證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，進而得到橢圓方程；
（2）將直線y=$\sqrt{2}$（x-1），代入橢圓方程，運用韋達定理，以及向量的坐標表示，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a²-c²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）證明：將直線y=$\sqrt{2}$（x-1），代入橢圓方程，可得：5x²-8x+2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8}{5}$，x₁x₂=$\frac{2}{5}$，
y₁y₂=2（x₁-1）（x₂-1）=2（x₁x₂+1-x₁-x₂）=2×（$\frac{2}{5}$+1-$\frac{8}{5}$）=-$\frac{2}{5}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{5}$-$\frac{2}{5}$=0．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．