Question

5．已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上．若右焦點到直線l：x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m，是否在實數(shù)m，使直線l與（1）中的橢圓有兩個不同的交點，使|AM|=|AN|，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得b=1，運用點到直線的距離公式，求得c，再由a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點M、N，中點為P，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及判別式求出m的范圍，通過中點坐標(biāo)，以及|AM|=|AN|，求出m的值，判斷即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得b=1，右焦點為（c，0），
由$\frac{|c+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，可得c=$\sqrt{2}$，
a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設(shè)P為弦MN的中點．聯(lián)立直線l：y=x+m與橢圓得4x²+6mx+3m²-3=0，
由于直線與橢圓有兩個交點，∴△=36m²-16（3m²-3）＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韋達(dá)定理可知：P（-$\frac{3m}{4}$，$\frac{m}{4}$）．
∴k_AP=$\frac{\frac{m}{4}+1}{-\frac{3m}{4}}$，
又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，則$\frac{\frac{m}{4}+1}{-\frac{3m}{4}}$=-1，即m=2，
∵-2＜m＜2．
∴不存在實數(shù)m使|AM|=|AN|．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，存在性問題的解題策略，注意m的范圍是易錯點．