Question

6．已知實數(shù)x，y滿足x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，最小值為-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意整體湊出可用基本不等式的形式，結(jié)合分類討論和不等式的性質(zhì)可得答案．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴當(dāng)x為正數(shù)時x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（1+{y}^{2}）}$
=$\sqrt{2•{x}^{2}•\frac{1+{y}^{2}}{2}}$≤$\sqrt{2}$•$\frac{{x}^{2}+\frac{1+{y}^{2}}{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=$\frac{1+{y}^{2}}{2}$時取等號，
由不等式的性質(zhì)可得當(dāng)x為負數(shù)時x$\sqrt{1+{y}^{2}}$≥-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故原式的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，最小值為-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

點評 本題考查基本不等式求最值，整體湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．