Question

4．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，若平面向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow c•\overrightarrow a=\overrightarrow c•\overrightarrow b$=2，則$|{\overrightarrow c}|$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$夾角為α，則$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$夾角為（$\frac{2}{3}π-α$），由平面向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow c•\overrightarrow a=\overrightarrow c•\overrightarrow b$=2，以及三角函數(shù)的平方關(guān)系得到cosα，再由數(shù)量積公式求得．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$夾角為α，則$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$夾角為（$\frac{2}{3}π-α$），
由平面向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow c•\overrightarrow a=\overrightarrow c•\overrightarrow b$=2，得到$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|cosα=|\overrightarrow{c}||\overrightarrow|cos（\frac{2π}{3}-α）$，
整理得到sin$α=\frac{2}{\sqrt{3}}cosα$，代入sin²α+cos²α=1得到cosα=$±\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以|$\overrightarrow{c}$|=$|\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a|}cosα}|$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$

點評 本題考查了利用平面向量的數(shù)量積公式求模長；屬于中檔題．