Question

11．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-5≤0}\\{y≥\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，則$\frac{（x+y）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$的最小值為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用換元法，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則x＞0，y＞0，
則$\frac{（x+y）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+2•（\frac{y}{x}）^{2}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，（k＞0），則y=kx
1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+2•（\frac{y}{x}）^{2}}$=1+$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$，
設(shè)y=2k+$\frac{1}{k}$，
由由圖象知當(dāng)直線y=kx和AB：y=x重合時，k取得最大值，此時k=1，
當(dāng)y=kx與y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$相切時，直線y=kx的斜率最小，
由y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$=kx，
即x²-4kx+1=0，
則判別式△=16k²-4=0，
得k²=$\frac{1}{4}$，得k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$（舍），
即$\frac{1}{2}$≤k≤1，
y=2k+$\frac{1}{k}$的導(dǎo)數(shù)y′=2-$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{2{k}^{2}-1}{{k}^{2}}$，
則由y′＞0得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k≤1，即函數(shù)y=2k+$\frac{1}{k}$為增函數(shù)，
由y′＜0得$\frac{1}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即函數(shù)y=2k+$\frac{1}{k}$為減函數(shù)，
故當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y取得極小值同時也是最小值y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}+\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)k=1時，y=2+1=3，
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時，y=2×$\frac{1}{2}$+2=3，
即y的最大值為3，
則2$\sqrt{2}$≤y≤3，
要求1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$=1+$\frac{2}{y}$的最小值，即求y的最大值，
即當(dāng)y=3時，1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$取得最大值1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$=1+$\frac{2}{y}$=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
故$\frac{（x+y）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$的最小值為$\frac{5}{3}$，
故答案為：$\frac{5}{3}$

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用換元法，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．