Question

16．判斷函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函數(shù)，在（-1，0），（0，1）是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：取值，作差，變形，定號(hào)下結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函數(shù)，在（-1，0），（0，1）是減函數(shù)．
理由如下：設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
若x₁＜x₂＜-1，或1＜x₁＜x₂，則x₁x₂＞1，即有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
若-1＜x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂＜1，則0＜x₁x₂＜1，即有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函數(shù)，在（-1，0），（0，1）是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值，作差，變形，定號(hào)下結(jié)論．