Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O為AD中點，M是棱PC上的點，AD=2BC．
（1）求證：平面POB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面BMO，求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形BCDO是平行四邊形，得出OB⊥AD；再證明BO⊥平面PAD，從而證明平面POB⊥平面PAD；
（2）解法一：由$\frac{PM}{MC}=1$，M為PC中點，證明N是AC的中點，MN∥PA，PA∥平面BMO．
解法二：由PA∥平面BMO，證明N是AC的中點，M是PC的中點，得$\frac{PM}{MC}=1$．

解答 解：（1）證明：∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，O為AD的中點，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∴CD∥BO；
又∵∠ADC=90°，
∴∠AOB=90°，即OB⊥AD；
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD；
又∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD；
（2）解法一：$\frac{PM}{MC}=1$，即M為PC中點，以下證明：
連結(jié)AC，交BO于N，連結(jié)MN，
∵AD∥BC，O為AD中點，AD=2BC，
∴N是AC的中點，
又點M是棱PC的中點，∴MN∥PA，
∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，
∴PA∥平面BMO．
解法二：連接AC，交BO于N，連結(jié)MN，
∵PA∥平面BMO，平面BMO∩平面PAC=MN，
∴PA∥MN；
又∵AD∥BC，O為AD中點，AD=2BC，
∴N是AC的中點，
∴M是PC的中點，則$\frac{PM}{MC}=1$．

點評 本題考查了空間中平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與空間想象能力，是綜合性題目．